Anualidad perpetua: fórmula y 3 ejercicios resueltos
Una perpetuidad es la forma más simple de anualidad: una serie de pagos iguales que continúan indefinidamente. Aunque ningún flujo de caja dura para siempre, la perpetuidad es un modelo matemático poderoso que se usa en la valoración de acciones, empresas y bienes raíces. Su fórmula es la más sencilla de toda la matemática financiera: VP = A / i.
Definición
Una anualidad perpetua o perpetuidad es una serie de pagos iguales y periódicos que no tienen fecha de terminación. Según Ross, Westerfield y Jordan, autores de Fundamentos de Finanzas Corporativas, la perpetuidad es "un caso especial de anualidad donde n tiende a infinito" y se aplica en la valoración del valor terminal de empresas, acciones preferentes con dividendo fijo y bonos perpetuos como los consols británicos (Ross et al., 2019, p. 144).
En Colombia, el modelo de perpetuidad se utiliza frecuentemente en la valoración de empresas bajo el método de flujos de caja descontados (DCF). Según un estudio de la Bolsa de Valores de Colombia, más del 70% de las valoraciones de empresas listadas en el mercado colombiano emplean alguna variante de la perpetuidad para calcular el valor terminal (BVC, Guía de Valoración de Empresas, 2022).
La fórmula
Esta fórmula se obtiene de la fórmula de anualidad vencida cuando n → ∞. El término (1+i)−n tiende a cero, y la fórmula se simplifica a A/i.
Ejercicio 1: Acción preferente
Enunciado: Una acción preferente paga un dividendo trimestral de $2.500 de forma indefinida. Si la tasa de descuento es 3% trimestral, ¿cuánto vale la acción?
Interpretación: Si usted paga $83.333 por esa acción y recibe $2.500 cada trimestre indefinidamente al 3% trimestral, la inversión es justa: ni gana ni pierde respecto a su tasa de oportunidad.
Ejercicio 2: Valor terminal de una empresa
Enunciado: Una empresa proyecta un flujo de caja libre estable de $50.000.000 anuales a partir del año 6, de forma indefinida. Si el costo de capital es 12% EA, ¿cuál es el valor terminal en el año 5?
Este valor luego se descuenta al presente como parte del modelo DCF completo.
Ejercicio 3: Perpetuidad creciente
Cuando los pagos crecen a una tasa constante g cada período, la fórmula se modifica:
Enunciado: Un arrendamiento genera $1.200.000 mensuales y se espera que crezca 0.5% cada mes indefinidamente. Tasa de descuento: 1.8% mensual.
Interpretación: El valor presente de ese flujo de arrendamiento creciente es $92.307.692. Con la perpetuidad simple (sin crecimiento) habría sido $66.666.667. El crecimiento del 0.5% mensual agrega $25.641.025 al valor presente.
Limitaciones del modelo
La perpetuidad es una simplificación matemática útil pero tiene limitaciones. Ningún flujo de caja dura literalmente para siempre, y la tasa de crecimiento g no puede superar la tasa de descuento i (de lo contrario la fórmula da un resultado negativo o infinito). En la práctica, los analistas financieros usan la perpetuidad como aproximación para horizontes muy largos (50+ años) donde el efecto del descuento hace que los flujos distantes sean casi irrelevantes.
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¿Qué es una anualidad perpetua?
Es una serie de pagos iguales y periódicos que continúan indefinidamente, sin fecha de terminación. Se usa como modelo cuando el horizonte temporal es muy largo, como en la valoración de acciones y empresas.
¿Cuál es la fórmula del valor presente de una perpetuidad?
VP = A / i, donde VP es el valor presente, A es el pago periódico e i es la tasa de interés por período. Es la fórmula más simple de toda la matemática financiera.
¿Cuándo se usa la perpetuidad en la práctica?
Se usa para valorar acciones preferentes con dividendo fijo, estimar el valor terminal de empresas en modelos DCF, valorar bonos perpetuos y calcular el valor de propiedades con arrendamiento indefinido.
Fuentes
Ross, S., Westerfield, R. & Jordan, B. (2019). Fundamentos de Finanzas Corporativas (12ª ed.). McGraw-Hill. p. 144.
Bolsa de Valores de Colombia. (2022). Guía de Valoración de Empresas Listadas.
Meza Orozco, J. (2017). Matemáticas Financieras Aplicadas (5ª ed.). Ecoe Ediciones.